Nilai dari \( 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots \) adalah …
- \( \sqrt{2} \)
- \( 2^{1/4} \)
- 1
- 2
- 4
Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini, kita dapat mengubah semua basis menjadi 2 seperti berikut:
\begin{aligned} 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots &= 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/16} \cdot (2^3)^{1/48} \cdots \\[8pt] &= 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot 2^{1/16} \cdots \\[8pt] &= 2^{1/4+1/8+1/16+\cdots} \end{aligned}
Perhatikan bahwa \( \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a = \frac{1}{4}\) dan rasio \( r = \frac{1}{2}\). Hasil dari jumlah deret geometri tak hingga ini, yaitu:
\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/2} \\[8pt] &= \frac{1/4}{1/2} = 1/2 \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh:
\begin{aligned} 2^{1/4} \cdot 4^{1/16} \cdot 8^{1/48} \cdots &= 2^{1/4+1/8+1/16+\cdots} \\[8pt] &= 2^{1/2} = \sqrt{2} \end{aligned}
Jawaban A.